หน้าเว็บ

วันอาทิตย์ที่ 22 ธันวาคม พ.ศ. 2556

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Function)

            จากการศึกษาในเรื่องเลขยกกำลัง  ซึ่งท้ายที่สุดเราได้สนใจเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนจริงบวก  และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ
            แต่ได้มีนักคณิตศาสตร์ได้สังเกตเห็นว่า  ถ้าเลขยกกำลังมีฐานเป็น 1  และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ ดังนี้
            ถ้ากำหนดให้      a = 1  และ x เป็นจำนวนจริงใดแล้วจะได้
                                                ax         =          1x         =          1
ข้อสังเกต
  • ไม่ว่า x จะเป็นจำนวนจริงใด ๆ ก็ตาม 1x ก็ยังคงเท่ากับ 1 เสมอ  ดังนั้นจึงไม่น่าสนใจ  เนื่องจาก  เราทราบว่ามันเป็นอะไรแน่ ๆ อยู่แล้ว
  • เรายังไม่ทราบนะว่า  เลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนจริงบวกยกเว้น 1  และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ แสดงว่าเราจะต้องสนใจศึกษาเลขยกกำลังลักษณะนี้เป็นพิเศษ  ซึ่งจะกล่าวถึงใน  เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลดังนี้


 อ่านเพิ่มเติม...
เขียนโดย ที่ ไม่มีความคิดเห็น:

วันเสาร์ที่ 21 ธันวาคม พ.ศ. 2556

ฟังก์ชันกําลังสอง

ฟังก์ชันกำลังสอง   (Quadratic function)
            ฟังก์ชันกำลังสองเป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูป    y   =   ax2 + bx + c   เมื่อ  a, b, c  เป็นจำนวนจริงใด ๆ  และ  a ¹ 0   ซึ่งกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง  เรียกว่า  พาราโบลา
1)     y  =  2x2 + 3x – 10     เมื่อ   a = 2 ,  b = 3   และ  c = -1
                                2)     y  =   x2 + 1                เมื่อ   a = 1 ,  b = 0   และ  c =  1
                                3)     y  =  -x2 + 2x + 1       เมื่อ   a = -1 ,  b = 2   และ  c = 1
                1)   กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง ที่กำหนดด้วยสมการ    y  =  ax2   เมื่อ  a ¹ 0
                         กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง   มีชื่อเรียกว่า  พาราโบลา  ซึ่งลักษณะของกราฟของฟังก์ชันขึ้นอยู่กับค่าของ  a , b  และ  c   และเมื่อ  a  เป็นบวกหรือลบ  จะทำให้ได้กราฟเป็นเส้นโค้งหงายหรือคว่ำ  และกราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่กำหนดด้วยสมการ    y  =  ax2   เมื่อ  a ¹ 0       เมื่อ  a  > 0   และชนิดคว่ำ   เมื่อ   a < 0   
                สรุป                ลักษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ    y  =  ax2   เมื่อ  a ¹ 0
                                
อ่านเพิ่มเติม...
เขียนโดย ที่ ไม่มีความคิดเห็น:

วันศุกร์ที่ 20 ธันวาคม พ.ศ. 2556

ฟังก์ชันชนิดต่างๆ

เราก็คงรู้จักความหมายของคำว่าฟังก์ชันแล้วนะคะว่าคืออะไร และมีความสัมพันธ์อย่างไรกับความสัมพันธ์ ดังนั้น ตอนนี้ เราจะมาดูประเภทต่างๆของฟังก์ชันที่น่าสนใจกันว่ามีอะไรบ้างคะ 1. ฟังก์ชันจาก A ไป B (Function from A Into B) เช่น หากเรามี f_1={(1,a),(2,b),(3,b),(4,b)} กำหนด A={1,2,3,4} เป็นสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับ B={a,b,c} เป็นสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับ หรือ f_2={(1,a),(2,b),(3,b),(4,c)} กำหนด A={1,2,3,4} เป็นสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับ B={a,b,c} เป็นสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับ เราจะพบว่า D_{f1}=A D_{f2}=A และ R_{f1}subset B R_{f2}subset B ฟังก์ชัน f_1 และ f_2 ต่างก็มีโดเมน เป็น A และเรนจ์เป็นสับเซตของ B เรียก ฟังก์ชัน f_1 และ f_2 นี้ว่าฟังก์ชันจาก A ไป B
บทนิยาม f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มี A เป็นโดเมน และ มีสับเซตของ B เป็นเรนจ์ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป Bเขียนแทนด้วย f:Arightarrow B
อ่านเพิ่มเติม...

เขียนโดย ที่ ไม่มีความคิดเห็น:

วันพฤหัสบดีที่ 19 ธันวาคม พ.ศ. 2556

โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน

จากตอนต้นๆ เราได้เอ่ยไปกับเพื่อนๆแล้วนะคะว่าความสัมพันธ์นั้นเป็นส่วนหนึ่งของฟังก์ชัน และเพราะเนื่องจากฟังก์ชัน เป็นความสัมพันธ์ ดังนั้นโดเมนและเรนจ์ของก็ฟังก์ชันก็คือโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ตามลำดับนั่นเองคะ ดังนั้นหากเราต้องการหาโดนแมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน จึงเป็นเรื่องที่แน่นอนว่าเราจะต้องใช้วิธีเดียวกันกับการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นะคะ และเขียนโดแมนและเรนจ์ของฟังก์ชันด้วย Dr และ Rr ตามลำดับคะตัวอย่าง 1 กำหนดให้ฟังก์ชัน f = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, a)} f={(1,a),(2,b),(3,c),(4,a)}จงหา Df D_rและ Rf R_r การแก้ปัญหา :D_r=เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับ D_r={1,2,3,4} R_rเซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับ R_r={a,b,c} 
อ่านเพิ่มเติม...
เขียนโดย ที่ ไม่มีความคิดเห็น:

วันพุธที่ 18 ธันวาคม พ.ศ. 2556

ฟังก์ชัน

จากที่เราได้กล่าวถึงเรื่องของความสัมพันธ์ทั้งหมดให้เพื่อนๆได้รับทราบกันมาแล้วนั้น ทั้งคู่อันดับ ผลคูณคาร์ทีเซียน และความสัมพันธ์ ดังนั้นตอนนี้ จะเข้าสู่เรื่องสำคัญของสิ่งทั้งหลายทางข้างต้นนำความเกี่ยวเนื่องกันทั้งหมด จนกลายเป็น “ฟังก์ชัน”
นิยาม ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ซึ่งในสองคู่อันดับใดๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้ามีสมาชิกตัวหน้า เท่ากันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องไม่เท่ากัน
เพื่อนๆลองพิจารณาความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้นะคะ r_1={(2,-2),(1,-1),(0,0)} r_2={(0,0),(1,-1),(-1,1),(2,4),(-2,4)} r_3={(1,1),(1,-1),(2,4),(2,-4),(3,9)} ซึ่งจากคู่อันดับนี้ เราจะพบว่าการจับคู่ระหว่างสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r_1 และ r_2 มีลักษณะเหมือนกันคือ สมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับแต่ละตัว จับคู่กับสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับเพียง 1 ตัว ในขณะที่ r_3 มีสมาชิกบางตัวซึ่งเป็นสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับจับคู่กับสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับเกินกว่าหนึ่งตัว เช่น r_3 : 1 จับคู่กับ 1 และ 1 จับคู่กับ -1 : 2 จับคู่กับ 4 และ 2 จับคู่กับ -4 ดังนั้นเราจึงเรียกความสัมพันธ์ r_1 และ r_2 ว่าเป็นฟังก์ชัน 
อ่านเพิ่มเติม...
เขียนโดย ที่ ไม่มีความคิดเห็น:

วันอังคารที่ 17 ธันวาคม พ.ศ. 2556

กราฟของความสัมพันธ์

กราฟของความสัมพันธ์เป็นหนึ่งในวิธีที่เราใช้ในการหาค่าของโดเมนและเรนจ์ หากสามารถที่จะสร้างกราฟความสัมพันธ์ได้ดี การหาค่าของโดเมนและเรนจ์ก็จะง่ายขึ้นสำหรับทุกคนคะ และไม่ใช่เรื่องยากเลย เรามาดูนิยามของกราฟความสัมพันธ์ได้เลยคะ
นิยาม rsubset Rtimes R กราฟของความสัมพันธ์ r คือ เซตของจุดในระนาบซึ่งแต่ละจุดแทนสมาชิกของความสัมพันธ์
ตัวอย่าง จงเขียนกราฟของ r={(x,y)in Atimes A|y=x^2} เมื่อ A={-2,-1,0,1,2} ไม่ยากเลยใช่ไหมคะ แค่การแทนค่าจุดที่โจทย์กำหนดมาให้ตามแต่ละคู่อันดับที่แจกแจงสมาชิกมาเรียบร้อย งั้นคราวนี้ เราลองมาสร้างกราฟของความสัมพันธ์ที่บอกเพียงแค่เงื่อนไข โดยที่ไม่แจกแจงสมาชิกกันบ้างดีกว่านะคะ ตัวอย่าง จงเขียนกราฟของ r={(x,y)|yleq x} การแก้ปัญหา : เนื่องจากเส้นตรง y=x แบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน คือส่วนที่อยู่เหนือเส้นตรง y=x และส่วนที่อยู่ใต้เส้นตรง y = x บริเวณสองส่วนดังกล่าวจะเป็นกราฟของ yleq x และ ygeq xทำได้โดยเลือกจุดคู่อันดับในส่วนหนึ่งซึ่งสามารถระบุความสัมพันธ์ระหว่างสมาชิกตัวแรกและสมาชิกตัวหลัง ว่าสมาชิกตัวใดมากกว่า เช่น เลือกจุดคู่อันดับในควอดรันต์ที่ 4 จะได้ว่าสมาชิกตัวหน้าเป็นจำนวนจริงเต็มบวก แต่สมาชิกตัวหลังเป็นจำนวนจริงลบ 
อ่านเพิ่มเติม...
เขียนโดย ที่ ไม่มีความคิดเห็น:
สมัครสมาชิก: บทความ (Atom)